Метод монте карло относится к методам моделирования - Лекция 5. Метод Монте-Карло

Используется для решения задач в различных областях физикихимииматематикиэкономикиоптимизациитеории управления и др. Случайные величины использовались для решения различных прикладных задач достаточно. Примером может служить способ определения числа Пикоторый был предложен Бюффоном еще в году.

Этот интеграл просто взять: При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться. В году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглы [1].

Результаты представлены в следующей таблице: Создание математического аппарата стохастических методов началось в конце XIX века. В году лорд Релей показал, что одномерное случайное блуждание на бесконечной решётке может давать приближенное решение одного из видов параболического дифференциального уравнения [3]. Андрей Николаевич Колмогоров в году дал большой толчок развитию стохастических подходов к решению различных математических задач, поскольку он сумел доказать, что цепи Маркова связаны с некоторыми интегро-дифференциальными уравнениями.

Метод Монте Карло

В году Иван Георгиевич Петровский показал, что случайное блужданиеобразующее Марковскую цепьасимптотически связано с решением эллиптического дифференциального уравнения в частных производных.

После этих открытий стало понятно, что стохастические процессы можно описывать дифференциальными уравнениями и, соответственно, исследовать при помощи хорошо на тот момент разработанных математических методов решения этих уравнений. Они предложили использовать стохастический подход для аппроксимации многомерных интегралов в уравнениях переноса, возникших в связи с задачей о движении нейтрона в изотропной среде.

Идея была развита Уламом, который, раскладывая пасьянсы во время выздоровления после болезни, задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс сложится. Вместо того, чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторикиУлам предположил, что можно просто поставить эксперимент большое число раз и, подсчитав число удачных исходов, оценить вероятность.

Он же предложил использовать компьютеры для расчётов методом Монте-Карло. Появление первых электронных компьютеровкоторые могли с большой скоростью генерировать псевдослучайные числарезко расширило круг задач, для решения которых стохастический подход оказался более эффективным, чем другие математические методы.

После этого произошёл большой прорыв, и метод Монте-Карло применялся во многих задачах, однако его использование не всегда было оправдано из-за большого количества вычислений, необходимых для получения ответа с заданной точностью. Название метода происходит от названия коммуны в княжестве Монакошироко известного своими многочисленными казинопоскольку именно рулетка является одним из самых широко известных генераторов случайных чисел.

В х годах метод использовался для расчётов при разработке водородной бомбы. Основные заслуги в развитии метода в это время принадлежат сотрудникам лабораторий ВВС США и корпорации RAND.

Одними из первых Метод Монте-Карло для расчёта ливней частиц применили советские физики А. Иногда можно, пожертвовав точностью, найти алгоритм, сложность которого растёт медленнее, но есть большое количество задач, для которого этого нельзя сделать например, задача определения объёма выпуклого тела в n -мерном евклидовом пространстве и метод Монте-Карло является единственной возможностью для получения достаточно точного ответа за приемлемое время.

В настоящее время основные усилия исследователей направлены на создание эффективных Монте-Карло алгоритмов различных физических, химических и социальных процессов для параллельных вычислительных систем. Предположим, необходимо взять интеграл от некоторой функции. Воспользуемся неформальным геометрическим описанием интеграла и будем понимать его как площадь под графиком этой функции.

Для определения этой площади можно воспользоваться одним из обычных численных методов интегрирования: Предположим, что для функции, представленной на рисунке 2, достаточно разбиения на 25 отрезков и, следовательно, вычисления 25 значений функции. При размерности функции больше 10 задача становится огромной.

Поскольку пространства большой размерности встречаются, в частности, в задачах теории струна также многих других физических задачах, где имеются системы со многими степенями свободы, необходимо иметь метод решения, вычислительная сложность которого бы не столь сильно зависела от размерности.

Именно таким свойством обладает метод Монте-Карло. Затем вычисляем выборочное среднее: В итоге получаем оценку интеграла: Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:.

Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.

При том же количестве случайных точек, точность вычислений можно увеличить, приблизив область, ограничивающую искомую функцию, к самой функции. Для этого необходимо использовать случайные величины с распределением, форма которого максимально близка к форме интегрируемой функции. На этом основан один из методов улучшения сходимости в вычислениях методом Монте-Карло: Различные вариации метода Монте-Карло можно использовать для решения задач оптимизации.

Например, алгоритм имитации отжига. Компьютерное моделирование играет в современной физике важную роль и метод Монте-Карло является одним из самых распространённых во многих областях от квантовой физики до физики твёрдого тела, физики плазмы и астрофизики. Традиционно метод Монте-Карло применялся для определения различных физических параметров систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия. Прямое моделирование методом Монте-Карло какого-либо физического процесса подразумевает моделирование поведения отдельных элементарных частей физической системы.

По сути это прямое моделирование близко к решению задачи из первых принциповоднако обычно для ускорения расчётов допускается применение каких-либо физических приближений. Примером могут служить расчёты различных процессов методом молекулярной динамики: Квантовый метод Монте-Карло широко применяется для исследования сложных молекул и твёрдых тел. Это название объединяет несколько разных методов.

Первый из них это вариационный метод Монте-Карлокоторый по сути является численным интегрированием многомерных интегралов, возникающих при решении уравнения Шрёдингера. Для решения задачи, в которой участвует электронов, необходимо взятие мерных интегралов, и при решении таких задач метод Монте-Карло имеет огромное преимущество в производительности по сравнению с другими численными методами интегрирования.

Метод Монте-Карло и его точность / Хабрахабр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версиипроверенной 19 мая ; проверки требует 1 правка. У этого термина существуют и другие значения, см. В данной статье или разделе имеется список источников или внешних ссылокно источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок.

Утверждения, не подкреплённые источникамимогут быть поставлены под сомнение и удалены. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники. Метод Монте-Карло Численное интегрирование. Статьи без сносок Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN.

Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение.

Метод Монте-Карло

Просмотры Читать Текущая версия Править Править вики-текст История. В других проектах Викисклад. Эта страница последний раз была отредактирована 20 июня в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия.